E₀ = E_0i (u_x cos a - u_z sen a) e^jwt e^{-jg₁(x sen a + z cos a)}

H₀ = -u_y E_0i (g₁/m₁ w ) e^jwt e^{-jg₁(x sen a + z cos a)}

Análogamente tendremos para la onda transmitida :

E_t = E_0t (u_x cos b - u_z sen b) e^jwt e^{-jg₂(x sen b + z cos b)}

H_t = -u_y E_0t (g₂/m₂ w ) e^jwt e^{-jg₂(x sen b + z cos b)}

y para la reflejada :

E_r = -E_0r (u_x cos a + u_z sen a) e^jwt e^{-jg₁(x sen a - z cos a)}

H_r = -u_y E_0r (g₁/m₁ w ) e^jwt e^{-jg₁(x sen a - z cos a)}

Si se igualan las componentes tangenciales de los campos en la interfase, igual que se hizo en el caso de la polarización perpendicular, se pueden obtener ahora los factores de reflexión y transmisión para el caso de la polarización paralela, las llamadas fórmulas de Fresnel para polarización paralela, que se pueden expresar como:

r_p = [(g₂/m₂ w ) cos b - (g₁/m₁ w ) cos a] / [(g₂/m₂ w ) cos b + (g₁/m₁ w ) cos a]

t_p = 2 (g₁/m₁ w ) cos a / [(g₂/m₂ w ) cos b + (g₁/m₁ w ) cos a]

A partir de las expresiones de los coeficientes de reflexión de la superficie para las ondas polarizadas, perpendicular y paralela, podemos extraer una consecuencia interesante si nos planteamos la posibilidad de que dicho coeficiente de reflexión se anule completamente para algún ángulo de incidencia concreto, dependiendo de las propiedades de los medios de incidencia y emergencia.
Para ello, considerando por simplificar el caso en que no hay absorción y sustituyendo el cos b en las expresiones de los coeficientes de reflexión por medio de la segunda ley de Snell, expresándolo en función de a e igualando a cero los numeradores de dichos coeficientes, obtenemos la siguiente condición para el caso de la polarización perpendicular.

sen² a = [(e₂ / e₁) - (m₂ / m₁)] / [(m₁ / m₂) - (m₂ / m₁)]

Operando análogamente para la polarización paralela obtenemos la condición:

sen² a = [(m₂ / m₁) - (e₂ / e₁)] / [(e₁ / e₂) - (e₂ / e₁)]

En estas expresiones vemos que no siempre es posible que exista algún ángulo de incidencia que cumpla dichas condiciones, en particular en el caso de la polarización perpendicular no será posible para la mayor parte de los materiales dieléctricos no magnéticos, para los que es : m₁ = m₂ = m₀.
No ocurre lo mismo para la polarización paralela para la que obtenemos, sustituyendo m₁ = m₂ = m₀ en la expresión correspondiente de sen² a , la siguiente condición para el ángulo de incidencia :

a = arctg (e₂ / e₁)^1/2 = arctg (N₂/N₁)

ángulo para el que no habrá campo reflejado y que se conoce como ángulo de Brewster.
El hecho de que para ese mismo ángulo el coeficiente de reflexión para la onda con polarización perpendicular no sea nulo, implica que toda la radiación que se refleje bajo dicho ángulo de incidencia en esa superficie tendrá polarización perpendicular independientemente de la polarización de la onda incidente y esto proporciona un método para obtener radiación polarizada con una orientación fija para diferentes aplicaciones en las que se necesite tal polarización.

Los coeficientes de reflexión y transmisión que se han obtenido relacionan las amplitudes de los campos reflejado y transmitido con la del incidente, pero en la mayoría de las situaciones prácticas lo que podremos observar o medir será la energía transportada por dichos campos y por ello es conveniente definir otras magnitudes que relacionen la energia de los campos reflejado y transmitido con la energía del campo incidente y obtener sus expresiones.
Estas magnitudes son las que se conocen como reflectancia y transmitancia de la superficie y se definen en función de los vectores de poynting de los campos reflejado, transmitido e incidente como ;

      _________    __________
R = Re [E_r x H_r] / Re [E₀ x H₀]
      _________    __________
T = Re [E_t x H_t] / Re [E₀ x H₀]

expresiones que representan, respectivamente, los promedios temporales de la densidad del flujo de energía reflejada y transmitida respecto de la incidente.
De su cálculo para el caso sencillo de incidencia normal, en cuyo caso el estado de polarización de la onda no influye en las expresiones de los coeficientes de reflexión y transmisión , incidencia que se produzca sobre una superficie de separación entre dos medios materiales no absorbentes, de índices de refracción reales, N₁ y N₂ , para la que dichos coeficientes de reflexión y de transmisión de los campos se pueden simplificar a : r = (N₁ - N₂) / (N₁ + N₂) , t = 2 N₁ /(N₁ + N₂) , y aplicando las definiciones anteriores resultan las siguientes expresiones para la reflectancia y la transmitancia ;

R = [(N₁ - N₂) / (N₁ + N₂)]² ,   , T = (N₂/N₁)[2 N₁ /(N₁ + N₂)]²

que, por ejemplo, para el caso frecuente de una superficie de vidrio ( N₂=1.5 ) en el aire ( N₁=1 ) dan como resultado los valores R = 0.04 y T = 0.96 por lo que vemos que en este caso de una sola superficie, la energía se refleja o se transmite pero no se absorbe ni se almacena en la interfase de los medios.

Esto sucede cuando hemos considerado que tanto el medio de incidencia como el medio de emergencia son semi-infinitos lo cual no suele ocurrir en la realidad porque, si bien en el caso de que el medio de incidencia sea el aire es razonable considerar el medio de incidencia como semi-infinito, en el caso del medio de emergencia lo habitual es que sea un medio material limitado en algún momento por al menos una segunda superficie que también tendrá influencia sobre los valores de los coeficientes obtenidos.
Una excepción sería el caso en que el medio de emergencia fuese por ejemplo el agua del mar la cual, dada su gran profundidad, se podría también considerar como un medio semi-infinito.

En el caso de que el segundo medio esté limitado por una segunda superficie, dicha superficie reflejará y transmitirá a su vez la radiación transmitida por la primera y así dará lugar a una radiación reflejada adicional, disminuyendo la radiación que se transmitiría a un tercer medio posterior que sería ahora el medio de emergencia.
Si por simplificar suponemos que dicha segunda superficie es también plana y paralela a la primera, una posible aproximación a la solución del problema fué primero sugerida por Airy en 1833 (5) y consiste en suponer que el proceso se produce secuencialmente, es decir que de la radiación incidente sobre la primera superficie una parte se refleja en ella y otra se transmite hacia la segunda superficie del segundo medio, recorriendo una cierta distancia en la que sufre un cierto desfase, allí nuevamente una parte de ella se transmite al tercer medio y otra se refleja hacia la primera superficie, sufriendo el correspondiente desfase adicional, donde a su vez vuelve a ocurrir el mismo proceso y así sucesivamente tal y como se representa en la figura siguiente.

En ella se verifica además que r´_e = - r_e y el desfase sufrido por el haz en cada paso por el espesor, d , de la lámina se puede demostrar (6) que viene dado por : d = g₂.d.cos b , siendo b el ángulo bajo el que se refracta el haz de radiación incidente en el segundo medio.
Si sumamos todas las contribuciones a los campos reflejado y transmitido, respectivamente, sin tener en cuenta la dependencia del tiempo que es la misma para todas, obtenemos unas sumas de series con expresiones del tipo:

E_r . e^jy = E₀ . [r_e+ t_e t´_e r_e1 . e^-2jd . ( 1 + r_e1. r´_e . e^-2jd + r_e1² r´_e² . e^-4jd + ....)]

E_t . e^jz = E₀ . t_e t_e1 . e^-jd . ( 1 + r_e1. r´_e . e^-2jd + r_e1² r´_e² . e^-4jd + ....)

En estas expresiones la serie que aparece entre paréntesis es una serie geométrica covergente, por lo que calculando el valor de su suma y teniendo también en cuenta que t_et´_e - r_er´_e = 1 , lo cual se puede comprobar fácilmente, llegamos a que las resultantes de los campos reflejado y transmitido se pueden expresar como:

E_r . e^jy = E₀ . [(r_e + r_e1 . e ^-2jd)/(1 + r_e . r_e1 . e ^-2jd)]

E_t . e^jz = E₀ . t_e . t_e1 . e^-jd /(1 + r_e . r_e1 . e ^-2jd)

De las definiciones de reflectancia y transmitancia que también pueden expresarse como;

R = |E_r|² / |E₀|² , , , T = Re(g₂/g₁) .|E_t|² / |E₀|²

vemos que las expresiones de la reflectancia y transmitancia para el caso planteado de la lámina con superficies plano-paralelas , se podrían calcular multiplicando E_r . e^jy / E₀ por su complejo conjugado y multiplicando E_t . e^jz / E₀ por Re(g₂/g₁) y por su complejo conjugado, respectivamente.
Estos cálculos no son difíciles, aunque sí algo laboriosos y se simplifican bastante para el caso de incidencia normal, para cuyo caso se pueden encontrar las expresiones algebraicas resultantes de este calculo en (7).
Son muchos los ejemplos cotidianos en los que podemos encontrar un sistema de este tipo, formado por un material limitado por dos superficies planas y paralelas, como es el caso del vidrio de una ventana, la lente de una gafa, una lámina de plástico transparente, el ala de un insecto o la hoja translúcida de un vegetal.

Las expresiones anteriores han sido deducidas para el caso ideal de una onda plana monocromática de longitud de onda l, lo cual no corresponderá con las situaciones que encontremos en la realidad en las que la radiación tendrá longitudes de onda comprendidas en un cierto intervalo [l-Dl/2 , l+Dl/2], siendo Dl lo que se conoce como ancho de banda del haz de radiación.
En este caso de un ancho de banda finito, podemos hacer una extensión de las expresiones deducidas, teniendo en cuenta el principio de superposición de los campos electromagnéticos, sumando todas las contribuciones a los campos reflejado y transmitido procedentes de todas las componentes espectrales dentro del intervalo de longitudes de onda de la radiación incidente, lo cual se conseguiría integrando las expresiones de dichos campos entre los límites del intervalo [d-Dd/2 , d+Dd/2] multiplicadas por la función que defina la distribución espectral de la radiación incidente dentro de dicho intervalo.
Estos cálculos suelen realizarse de forma numérica, utilizando ordenadores o máquinas de cálculo automático, pero hay casos en los que se pueden simplificar mucho y en los que pueden llegar a realizarse de forma muy sencilla, en especial cuando se cumplen ciertas condiciones con respecto al material de la lámina y con respecto al ángulo de incidencia y al ancho de banda de la radiación incidente.

Con respecto a las propiedades de la lámina se puede decir que los materiales con pequeña absorción se pueden caracterizar de forma aproximada por un índice de refracción real, N , y con respecto a la radiación, en el caso de que la incidencia sea normal las expresiones se simplifican notablemente ya que no dependen de la polarización de la onda incidente, y si adicionalmente el ancho de banda es suficientemente grande esto hace que las expresiones puedan simplificarse aún más.
Cuando se trabaja con radiación electromagnética de frecuencias ópticas el parámetro que suele utilizarse para su caracterización espectral es la longitud de onda (8) , por ello veamos cual es la equivalencia entre el ancho de banda espectral expresado en longitud de onda , Dl , y el ancho de banda expresado por el desfase , Dd .
Se ha visto antes que el desfase sufrido por la radiación dentro de la lámina viene dado por ; d = g₂.d.cos b , siendo g₂ = 2.p.N₂ / l , donde l es la longitud de onda de la radiación en el vacío y N₂ el índice de refracción del material de la lámina, por lo que d   se podrá expresar como : d = 2.p.N₂.d.cos b / l
A partir de aquí, suponiendo que N₂ no depende de l , tendremos ;

|Dd| = (2.p.N₂.d.cos b).|Dl| / l² => |Dd| = (2.p.N₂.d.cos b) / (l² / |Dl|)

expresión en la que reconocemos la presencia de la que es conocida (9) como longitud de coherencia de la radiación , l² / Dl .

En el caso de incidencia normal será b = 0 y las sucesivas contribuciones a la onda transmitida darán lugar a máximos de interferencia cuando el desfase sufrido al atravesar la lámina sea igual a p radianes o un múltiplo entero de p , ya que al atravesar la lámina dos veces o un múltiplo entero de dos la onda que emerja, proviniente de las reflexiones internas en la lámina, volverá a estar en fase con la transmitida dando lugar a la interferencia constructiva.
Así, cuando por ejemplo se realiza la medida de el espectro de transmisión de una lámina, registrando el valor de la transmitancia frente a la longitud de onda, al variar la longitud de onda varía el desfase y pasaremos de un máximo de interferencia al siguiente cuando esta variación corresponda a una magnitud de p radianes en el desfase, recorriendo todos los valores intermedios y pasando por un mínimo de interferencia que corresponderá a un incremento en el desfase de p/2, en el cual la interferencia es destructiva.
Entonces, para incidencia normal y considerando que la radiación es monocromática, las condiciones que cumplirán los máximos y los mínimos de transmitancia serán respectivamente :

2.N_max.d = m.l_max , para los máximos y ; 4.N_min.d = (2 m + 1).l_min , para los mínimos.

donde N_max y N_min representan los valores que toma el índice de refracción para las longitudes de onda l_max y l_min a las que se producen el máximo y el mínimo de interferencia, respectivamente, siendo m un número entero que se conoce como orden de interferencia, que indica el número de veces que p esta contenido en el desfase que se produce en la radiación al atravesar la lámina.

Se pueden presentar dos situaciones límites en la relación entre el espesor óptico de la lámina , N₂.d.cos b , y la longitud de coherencia de la radiación , l² / Dl , una en la que el espesor óptico de la lámina es mucho menor que la longitud de coherencia del haz, que corresponderá entonces a valores de Dd mucho menores que 2p , lo cual supondrá integrar las expresiones de los coeficientes de reflexión y transmisión sobre un intervalo muy pequeño y produciría resultados parecidos a considerar la radiación como monocromática, y otra en la que el espesor óptico de la lámina es mucho mayor que la longitud de coherencia de la radiación, que llevaría a valores de Dd mucho mayores que 2p lo que supondría integrar los coeficientes sobre intervalos grandes y llevaría a la desaparición de las diferencias de visibilidad entre máximos y mínimos de interferencia, llegándose a valores medios independientes del valor del desfase y del espesor óptico de la lámina.
En este segundo caso se pueden calcular la reflectancia y transmitancia del sistema por un método similar al de Airy, pero utilizando las transmitancias y reflectancias de cada superficie y sin considerar los efectos del desfase, que para el caso considerado de una lámina no absorbente inmersa en un medio semiinfinito se podrán calcular como :

R = R₁ + T₁ T₂ R₂ /(1- R₂²)       T = T₁ T₂ /(1- R₂²)

en donde T₁ , R₁ , T₂ y R₂ , son las transmitancias y reflectancias de la primera y segunda superficie, respectivamente, que se pueden calcular en función de los índices de refracción de los dos medios tal y como hemos visto antes y que calculando para el caso de una lámina de vidrio con N₂=1.5 en el aire, rinden los valores ; T = .923 , R = .077 .
Estos valores indican que, si por ejemplo la lámina de vidrio es la de una ventana, el 92.3% de la luz que incide sobre la ventana la atraviesa y el 7.7% resulta reflejada, no absorbiéndose ninguna radiación en el material, lo cual será bastante bien aproximado a la realidad sólo para algunos tipos de radiación como la luz visible, pero no será cierto para otros, como es el caso de las radiaciones en el rango del ultravioleta y del infrarrojo medio en las que el vidrio de la ventana absorbe la radiación y por lo tanto no sería correcto considerar el índice de refracción del vidrio como un número real en estos rangos de longitudes de onda.
En realidad, en esas regiones del ultravioleta e infrarrojo medio, el vidrio absorbe mucha radiación y para los espesores que habitualmente se utilizan en los vidrios de las ventanas de las casas o de los automóviles, se absorbe casi toda la radiación incidente, proviniente por ejemplo del Sol y esa es la razón por la que no podríamos broncearnos tomando el sol detrás de una ventana con cristal, porque los rayos ultravioletas, responsables del bronceado, no son capaces de atravesar el vidrio de la ventana y quedan absorbidos en ella.
También ésta es la causa por la que el vidrio es un material apropiado para utilizarse en la construcción de invernaderos ya que permite el paso de la luz visible que aporta calor al interior del invernadero, pero no permite la salida de las radiaciones del infrarrojo, portadoras de calor, que son reflejadas o quedan atrapadas en el vidrio, aportando calor al sistema.

En todas las demás situaciones intermedias no se dispondrá de una aproximación que simplifique el cálculo y habrá que efectuar el mismo en la forma anteriormente descrita, integrando las expresiones numéricamente dentro del intervalo determinado por el ancho de banda espectral.
Además, si la incidencia no es normal, los materiales son absorbentes, o se necesita incluir una tercera o más superficies en el sistema, las expresiones algebraicas se complican mucho y el método expuesto resulta prácticamente inaplicable por lo que resulta sensato utilizar otro que permita realizar los cálculos de una forma más cómoda y asequible.
Con el uso de los ordenadores y máquinas automáticas de calculo resulta más sencillo utilizar algún método recurrente que pueda aplicarse a un sistema de múltiples superficies planas y paralelas y a radiación que incida bajo cualquier ángulo y con cualquier tipo de polarización.
Si consideramos un sistema como el de la figura siguiente, en el que las dimensiones transversales de las láminas se consideran mucho mayores que la dimension transversal del haz de radiación y la de éste a su vez mucho mayor que la longitud de onda, para poder evitar tener en cuenta los efectos de difracción, podemos ver las condiciones que cumplen las componentes del campo en cada lámina.

Siguiendo el método expuesto en (10), se consideran los promedios temporales de las funciones de onda en cada interfase y para el caso de incidencia normal la forma más general de los campos se puede expresar como la suma de dos ondas sinusoidales que se propagan en direcciones opuestas

E_i(z,t) = E_i(z) . e^jwt = e^jwt . [ E^t_i^- + E^r_i^- ]

en donde también se verifica que : E^t_(i-1)⁺ = E^t_i^- . e^jd_i , y : E^r_(i-1)⁺ = E^r_i^- . e^-jd_i , siendo d_i = 2.p.N_i .d_i /l , el espesor de fase de la capa i.
Estableciendo las condiciones de continuidad de los campos eléctrico y magnético en la interfase i, se tendrá :

E^t_i^- + E^r_i^- = E^t_i⁺ + E^r_i⁺

N_i . [ E^t_i^- - E^r_i^- ] = N_i+1 . [ E^t_i⁺ - E^r_i⁺ ]

Sustituyendo i por i-1 en estas ecuaciones y operando, obtenemos las relaciomes de recurrencia para las amplitudes de los campos transmitido y reflejado.

E^t_i-1^- = 1/2 ( 1 + N_i/ N_i-1 ). E^t_i^- . e^jd_i + 1/2 ( 1 - N_i/ N_i-1 ). E^r_i^- . e^-jd_i

E^r_i-1^- = 1/2 ( 1 - N_i/ N_i-1 ). E^t_i^- . e^jd_i + 1/2 ( 1 + N_i/ N_i-1 ). E^r_i^- . e^-jd_i

donde podemos tomar E^t_m⁺ = 1 , y E^r_m⁺ = 0 cuando el medio de emergencia es semiinfinito.
Teniendo en cuenta que :

E_i-1 = E^t_i-1^- + E^r_i-1^-      H_i-1 = N_i-1 . E^t_i-1^- - N_i-1 . E^r_i-1^-

y que :     E^t_i^- = 1/2 E_i + (1/2N_i) . H_i         E^r_i^- = 1/2 E_i - (1/2N_i) . H_i

ahora podremos expresar E_i-1 y H_i-1 en función de E_i y H_i .

Operando con las expresiones anteriores obtenemos :

E_i-1 = E_i . cos d_i + j (H_i / N_i) . sen d_i         H_i-1 = j N_i . E_i . sen d_i + H_i . cos d_i

expresiones que nos permiten calcular de forma recurrente los valores de los campos en las diferentes capas del sistema, partiendo de los valores en el medio de emergencia , E_m = 1 , H_m = N_m+1

Las expresiones de la reflectancia y la transmitancia del sistema se pueden poner como:

R = |( E₀ - H₀ / N₀ ) / ( E₀ + H₀ / N₀)|²         T = 4 N_m+1 / ( N₀ . | E₀ + H₀ / N₀|²)

siendo N₀ y N_m+1 los índices de refracción de los medios de incidencia y emergencia, respectivamente.

Para simplificar los cálculos se introduce el concepto de admitancia de la superficie i que se define como : Y_i = H_i / E_i , la cual también debe cumplir las condiciones de continuidad en la superficie y cuyo cálculo recurrente a partir de las expresiones de E_i-1 y H_i-1 en función de E_i y H_i se puede escribir como :

Y_i-1 = ( Y_i + j N_i . tg d_i) / [ 1 + j (Y_i / N_i) . tg d_i ]

Ahora podremos escribir la expresión de la reflectancia como : R = |( N₀ - Y₀ ) / ( N₀ + Y₀ )|² , poniéndola en función de la admitancia.
También para la transmitancia podemos obtener una expresión alternativa partiendo de su definición en función del vector de Poynting :

T = P^t_m⁺ / P^t_0^- = (1 - R) . P_m / P₀ = (1 - R) ₁P_m (P_i / P_i-1)

siendo : P_i = Re [E_i . H_i] = |E_i|² . Re [Y_i] , por lo que de acuerdo con lo deducido en (10) se tendrá :

En un medio con estructura amorfa o muy desordenada, como puede ser el caso de un líquido, la superficie que se presenta en contacto con un medio externo como el aire puede llegar a ser muy lisa en ausencia de vibraciones o de otros fenómenos que alteren su estado, ya que los átomos o moléculas del líquido son libres para deslizarse entre ellos lo que resulta en una interfase con estructuras de dimensiones muy pequeñas, comparables a las dimensiones atómicas o moleculares.
Si dicho medio se solidifica se produce, dependiendo de la forma en que se haga, una ordenación con o sin cristalización de los átomos y moléculas del mismo que resulta en la formación de estructuras rígidas cuyas dimensiones y orientación pueden dar lugar a que la interfase entre el medio solidificado y el medio que le rodea, la superficie de separación, presente una apariencia con facetas de dimensiones supramoleculares que configuran una mayor rugosidad superficial.

Ésta es sólo una posible forma en la que una superficie puede llegar a presentar rugosidad, pues otros fenómenos tales como la erosión física o química y el impacto de partículas pueden producir rugosidad en una superficie que era previamente más lisa, y en ocasiones así se produce de forma controlada en ciertas aplicaciones en las que se busca la mayor utilidad que una superficie con cierto grado de rugosidad presenta frente a una que no la tiene, como es el caso, por ejemplo, de la rugosidad superficial o textura que se produce en algunas células solares fotovoltaícas con el objetivo de disminuir la cantidad de luz reflejada en su superficie y aumentar así su rendimiento de conversión de energía, y también el de las superficies que se usan en algunas pantallas de televisión y monitores de ordenador que se fabrican con un cierto grado de rugosidad superficial controlada con el objeto de disminuir las molestas reflexiones y brillos que se producen en una superficie muy lisa y mejorar así las condiciones de visibilidad de las mismas.
Estos son sólo dos ejemplos pero hay muchos otros en los que un cierto grado de rugosidad superficial puede resultar útil y también por contra puede haber situaciones en las que la rugosidad superficial de un medio puede resultar inconveniente para algún tipo de aplicación o fenómeno físico que deseemos utilizar o estudiar, por ello es interesante saber cómo y en que medida tiene influencia un cierto grado de rugosidad superficial sobre los fenómenos de reflexión, transmisión y absorción de la radiación electromagnética en los medios materiales.

El tema tiene interés en muchos campos, desde la reflexión de ondas de radio en la superficie del mar hasta la detección por radar de microondas reflejadas en diversos tipos de superficie, entre otros, y por ello ha sido estudiado por muchos investigadores desde diversos puntos de vista aunque todos ellos coinciden en señalar que dada la variedad de los procesos que pueden generar rugosidad en una superficie, no puede existir un único tratamiento matemático aplicable a todas las posibles situaciones que se presenten en la realidad.
Si exceptuamos el caso de las irregularidades periódicas, cuya variación con respecto a las coordenadas x e y puede ser descrita por una función matemática periódica de propiedades conocidas, caso de las redes de difracción y texturas similares, el resto de las superficies rugosas se generan en su gran mayoría como consecuencia de procesos aleatorios y por ello las posiciones de la superficie y su desviación respecto del nivel medio no pueden describirse por funciones explícitas y sólo son tratables desde un punto de vista estadístico.

La presencia de rugosidad superficial tiene influencia sobre la forma en que la radiación electromagnética se refleja y se transmite en la superficie entre dos medios materiales produciendo efectos nuevos, no considerados hasta ahora, tales como la difusión de parte de la luz incidente en direcciones distintas a las previstas por las leyes de Snell, la posible presencia de absorción en la interfase y la modificación de los valores de los coeficientes de reflexión y transmisión con respecto al caso de la superficie lisa.
Se comprueba experimentalmente que estos efectos presentan una dependencia fuerte con respecto a la longitud de onda de la radiación incidente, lo que conduce en la práctica a que superficies que se comportan como lisas para radiaciones de ciertas longitudes de onda, como por ejemplo las ondas de radio, presenten un efecto muy marcado de rugosidad cuando se iluminan con radiaciones de longitudes de onda menores, como por ejemplo las del infrarrojo o el visible.

Así se recoge en algunas de las aproximaciones al problema, como las de Davies, Bennet y Porteus (11), en las que se caracteriza la superficie a través de dos parámetros estadísticos, la amplitud cuadrática media de las irregularidades, s , y la pendiente cuadrática media de las mismas, p , definidas dentro de una cierta distancia media de correlación, a , que, cuando se imponen ciertas condiciones a la superficie tales como que la distribución de las alturas de las irregularidades y la de las pendientes sean normales o Gaussianas alrededor del valor medio y que la superficie sea estacionaria e isotrópica con respecto a la posición a través de ella, se llegan a definir de la siguiente forma :

s = h /(2)^1/2     p = ­± (2)^1/2.s /a     a² = [2/(s)²] S . A(S) . dS

donde h es la amplitud máxima de las irregularidades dentro de la distancia de correlación , a , y S y A(S) son la proyección de la distancia entre dos puntos de la superficie sobre el plano medio y la función de autocovarianza de los mismos, respectivamente.
Con estas condiciones y suponiendo además que s es mucho menor que la longitud de onda de la radiación incidente y que el radio de curvatura de las irregularidades es grande con respecto a la longitud de onda, lo cual supone que la distancia de correlación , a , sea también mayor que l, es posible aplicar el método de difracción de Kirchoff a la reflexión de radiación electromagnética en dicha superficie y se obtiene, para la expresión de la reflectancia en el caso de incidencia normal desde el aire :

R_s = R₀ . e^{-(4 p s)2 / l2}

siendo R₀ la reflectancia de una superficie lisa del mismo material y R_s la reflectancia en la dirección especular de la superficie con rugosidad.
La extensión de este tratamiento (12) a incidencia bajo un ángulo cualquiera , a , y medio de incidencia con índice de refracción N₀ da como resultado la expresión :

R_s = R₀ . e^{-(4 p N₀ s cos a)2 / l2}

La comprobación experimental de esta expresión, llevada a cabo para incidencia casi normal sobre superficies de vidrio finamente pulidas y recubiertas de una capa de aluminio, mostró buen acuerdo con la teoría, tal y como puede verse en la figura siguiente, reproducida de la referencia (11).

En la figura los puntos corresponden a medidas experimentales, la linea continua a el cálculo obtenido para incidencia normal con la anterior expresión y la linea de trazos corresponde a el cálculo corregido asumiendo que una parte de la radiación recogida en el detector es también radiación difundida que entra dentro del ángulo de aceptación del mismo , Dq , según la expresión para la dependencia angular de la radiación difractada en el caso de incidencia normal:

r_d(q) dq = R₀ .2.p⁴.(a /l)². (s /l)².(cos q + 1)⁴.sen q. e^{[-(p a. sen q)2 /l2]}.d q

R_s = R₀ . e^{-(4 p s)2 / l2} + R₀ . (2⁵.p⁴ /p²) . (s /l)⁴. (Dq)²

Expresiones que dado el carácter isotrópico de la superficie considerada pueden generalizarse, tentativamente, para ángulos de incidencia , a , próximos a la normal a :

r_d(q) dq = R₀ .2.p⁴.(a /l)². (s . cos a /l)².(cos q + 1)⁴.sen q. e^{[-(p a. sen q)2 /l2]}.d q

R_s = R₀ . e^{-(4 p s .cos a)2 / l2} + R₀ . (2⁵.p⁴ /p²) . (s .cos a /l)⁴. (Dq)²

También se puede ver en la figura que para valores de la reflectancia especular menores de aproximadamente .75 el calculo corregido se vuelve a desviar de las medidas experimentales, hecho que los autores atribuyen a que para esas longitudes de onda menores ya no se cumplen las hipótesis bajo las que el tratamiento matemático desarrollado resulta válido.
La extensión de los resultados encontrados para la reflexión se ha intentado hacer (13), suponiendo las mismas condiciones, al caso de la radiación transmitida por una superficie rugosa encontrándose para la transmitancia en la dirección especular una expresión análoga a la encontrada para la reflectancia, que en el caso de incidencia normal se expresa por :

T_s = T₀ . e ^{-[ 2 p s (N - N₀) /l ]2}

y que para un ángulo de incidencia, a , con respecto a la normal toma la forma :

T_s = T₀ . e ^{-[ 2 p s (N - N₀) cos (a) /l ]2}

donde N₀ y N son los índices de refracción del medio de incidencia y del medio incidido y T_s y T₀ son las transmitancias en la dirección especular de la superficie con rugosidad y de una superficie idealmente lisa del mismo material, respectivamente.
En el caso de la transmisión en una lámina o sistema de láminas, no es tan inmediato como en el de la reflexión en una superficie metálica el poder hacer una estimación de la cantidad de radiación difundida que es recogida dentro del ángulo de aceptación del detector, ya que dependerá en cada caso particular del espesor de la capa o capas que haya detrás de la superficie rugosa, del número de éstas y de sus índices de refracción (14).
Lo mismo puede decirse de la radiación reflejada fuera de la dirección especular por un sistema de láminas débilmente absorbentes cuya primera superficie presenta un cierto grado de rugosidad.
En estos casos en que intervienen tantos factores serían más adecuadas expresiones empíricas del tipo :

R_s = R₀ . e^{-[4 p N₀ s_ef cos (a) / l](1+b)} , , T_s = T₀ . e ^{-[ 2 p s_ef (N - N₀) cos (a) /l ](1+b)}

en donde s_ef representa un valor efectivo de la amplitud cuadrática media de las irregularidades de la rugosidad superficial y b es un parámetro cuyo valor puede estar comprendido entre 0 y 1.
Las expresiones aquí presentadas facilitan mucho el cálculo de los valores de transmitancia y reflectancia especulares correspondientes a una superficie con cierto valor de rugosidad conocido a través de dos parámetros sencillos, como son el valor cuadrático medio de la amplitud de las irregularidades, s , y la pendiente cuadrática media de las mismas, p , dentro de la distancia de correlación, a , ya que los relacionan con los valores de transmitancia y reflectancia de la respectiva superficie lisa, cuyas expresiones se conocen y se pueden calcular en función de las propiedades del material y de la radiación incidente para cada caso concreto.

No obstante, las condiciones que se han impuesto para la obtención de dichas expresiones son bastante restrictivas y limitan su aplicación al caso de superficies únicas en las que las pendientes de las irregularidades son muy pequeñas, evitando así la necesidad de tener en cuenta el efecto de la múltiple difusión o scattering que podría tener lugar entre facetas muy próximas entre sí, cuando la distancia de correlación no cumpliera con la condición de ser mucho mayor que la longitud de onda, y tampoco tienen en cuenta el efecto de la interferencia en sistemas de láminas, que modifica significativamente la cantidad de radiación desviada fuera de la dirección especular.
Además se exige para poder aplicar dichas expresiones que la amplitud cuadrática media de las irregularidades sea mucho menor que la longitud de onda y esto limita su posible aplicación a valores de rugosidad pequeños frente a la longitud de onda de la radiación utilizada, lo cual no siempre se cumple cuando se trata con superficies rugosas de todo tipo.
De todas las condiciones exigidas para la obtención de estas expresiones, quizá la menos restrictiva sea la de suponer que las distribuciónes de las amplitudes y las pendientes de las irregularidades siguen una ley normal o Gaussiana con respecto al valor medio de las mismas, ya que como se ha dicho son muchos los casos en los que la rugosidad superficial aparece como consecuencia de un proceso aleatorio y en tal circunstancia es altamente probable que muchas de las superficies rugosas así generadas cumplan con dicha condición y también en muchos de ellos con la de ser isotrópicas.

Algunas de las superficies que se encuentran en la realidad pueden considerarse ajustadas a las condiciones impuestas, superficies con rugosidad suave de tipo onduladorio sin picos ni valles escarpados, y a ellas serían aplicables las expresiones anteriores, pero también son muchas las superficies que presentan una rugosidad con irregularidades muy cercanas unas de otras, con pendientes abruptas como las mostradas en la figura siguiente, que ofrece fotografías tomadas con microscopio electrónico de barrido, reproducidas de la referencia (15), en las que los fenómenos de difusión múltiple de la luz entre las facetas superficiales no pueden ser ignorados y para las cuales no serían directamente aplicables las expresiones deducidas.

El efecto más evidente que una superficie con cierto grado de rugosidad tiene sobre la reflexión y la transmisión de la radiación electromagnética que incide sobre ella es, como se ha mencionado, el de producir difusión de parte de la radiación incidente y disminuir la fracción de luz que se refleja y transmite siguiendo la dirección especular o prevista por las leyes de Fresnel, por ello una superficie lisa puede devolver una imagen especular de un objeto o transmitir una imagen nitida del mismo mientras que una superficie rugosa devolverá una imagen borrosa o distorsionada, o en casos extremos no devolverá imagen especular alguna y sólo se podrá apreciar una imagen de la propia superficie.
Esta observación está de acuerdo con lo previsto por las expresiones anteriormente expuestas en las que un aumento del parámetro s , que va asociado a una rugosidad mayor, determina una disminucion de los valores de la reflectancia y transmitancia en la dirección especular, por ello suponemos que dichas expresiones podrían ser también válidas para superficies que no cumplan estrictamente con las condiciones que se han impuesto para su deducción, siempre que se superen las contradicciones que se producen entre las hipótesis adoptadas y las propiedades de las superficies reales a las que se pretende aplicar el método utilizado.

Una de las aproximaciones que se realizan para llegar a obtener las expresiones que relacionan la reflectancia especular con la reflectancia de la superficie lisa es considerar que el valor medio de la reflectancia de la superficie rugosa se puede obtener integrando la reflectancia correspondiente a cada uno de los puntos de la superficie a lo largo y ancho de ella y asumir que el resultado coincide con la reflectancia correspondiente a la altura y pendiente medias de las distribuciónes de alturas y pendientes, que al considerarse Gaussianas se supone que coinciden con x(x,y) = 0 , p = 0 , y puede considerarse que entonces dicha reflectancia es la misma que la que tendría la superficie lisa, R₀ , para cada ángulo de incidencia , a .
Esta aproximación, que se muestra bastante acertada cuando las irregularidades de la superficie son pequeñas y varían lentamente con pendientes pequeñas a lo largo y ancho de la sección de incidencia del haz de radiación, no parece que pueda ser aplicada cuando las variaciones son más abruptas ya que en este caso es probable que la onda reflejada lo sea despues de haber sufrido más de una reflexión en las facetas de la rugosidad, habiéndose podido producir alguna absorción en la interfase y habiéndose modificado sensiblemente los coeficientes de reflexión y de transmisión de dicha interfase con respecto a los de la superficie lisa.

Por otra parte el tratamiento matemático podría mantenerse, siempre que adaptemos la reflectancia que se utiliza en el mismo a la que se presenta en la situación real y esto puede hacerse por medio de un modelo que considere la interfase como un sistema de láminas paralelas con el número de capas adecuado, cada una de ellas con un factor de empaquetamiento de masa proporcional a la distribución de volumen correspondiente al de la superficie rugosa dentro de ese nivel de alturas y cuyo índice de refracción se calcule en función del índice de refracción de los dos medios, el de incidencia N₀ = n₀ - jk₀ , y el del material incidido N_f = n_f - jk_f , respectivamente, y de el correspondiente factor de empaquetamiento de masa , x_i , dentro de cada capa i, de acuerdo con las expresiones siguientes :

n_i = n₀(1 - x_i) + n_f x_i        k_i = k₀(1 - x_i) + k_f x_i

Con este modelo se pueden tener en cuenta efectos como las múltiples reflexiones en las facetas de la rugosidad, la posible absorción dentro de ellas y además proporciona valores de la reflectancia y la transmitancia promediados y uniformes, que son adecuados para ser integrados en la aplicación del método de Kirchoff que conduce a la obtención de la función característica que afecta a dichos valores de reflectancia y transmitancia para la obtención de los correspondientes en la dirección especular.

R_s = R_m . e^{-[4 p N₀ s_ef cos (a) / l ](1+b)}     T_s = T_m . e ^{-[ 2 p s_ef (N - N₀) cos (a) / l ](1+b)}

donde R_m y T_m son la reflectancia y transmitancia, respectivamente, calculadas con el modelo mencionado, y R_s y T_s son al igual que antes la reflectancia y transmitancia en la dirección especular, respectivamente.

Un tipo de modelo similar ha sido utilizado para describir por sí solo el comportamiento óptico de superficies altamente texturadas (16,17), considerando un número muy grande de capas en las que la difracción de la radiación se supone que tiene lugar en múltiples pequeñas partículas distribuidas dentro de ellas de acuerdo con diferentes patrones de densidad, según el tipo de superficie que se quiere modelar.
En el modelo que aquí se utiliza se supone que las capas están compuestas de un material homogéneo e isótropo, caracterizado por su índice complejo de refracción, siendo el número de capas pequeño y dependiente del valor de los parámetros con los que describimos la rugosidad, es decir de la amplitud cuadrática media de las irregularidades y de la distancia media de correlación entre ellas.
Así, para un mismo valor de la amplitud cuadrática media de las irregularidades en dos superficies que sólo se diferencian entre sí en la forma en que dichas irregularidades están distribuidas o en la pendiente de las mismas, se podrá tener en cuenta esta variación entre ambas a través de incluir diferente número de capas en uno y otro caso, obteniendo de esta forma resultados distintos para cada una de ellas.
Puede verse en la figura siguiente, en la que una superficie rugosa se ha representado en dos dimensiones por simplificar, que a lo largo del doble de la distancia promedio de correlación , a , se recorrerían todas las alturas de la distribución gaussiana de las irregularidades cuya amplitud cuadrática media y amplitud máxima son s y h , respectivamente, y también se recorren todas las pendientes de uno y otro signo de la distribución correspondiente.

En la parte central de dicha figura se pueden ver representadas las pendientes medias de la distribución, definidas como h/a y -h/a respectivamente y también, superpuesta, una función senoidal del tipo z=(h/2)[1+sen (py/a)] que cumple con la misma condición de que el valor "eficaz" o cuadrático medio de sus amplitudes dentro del intervalo [0,2a] es h/(2)^1/2, cuyas pendientes medias también coinciden con las de la distribución normal y que puede servir para calcular los factores de empaquetamiento de masa de las capas correspondientes a cada altura en el modelo.
En la parte inferior de la figura se ha sustituido, para este mismo caso, la superficie rugosa por dos capas con índices de refracción determinados por el factor de empaquetamiento de masa dentro de cada una de ellas, correspondiente al volumen de cada uno de los dos medios, incidente e incidido, que esté incluido en ese intervalo de alturas en la superficie rugosa considerada.

El número de capas a incluir en el modelo vendrá determinado en cada caso por las características de la superficie rugosa a la que debe sustituir, que en principio pueden venir definidas por los dos parámetros s y a , o alternativamente por la amplitud máxima de las irregularidades, h , y la distancia de correlación entre ellas, a .
En un extremo tendremos los casos de superficies con facetas de las irregularidades que presentan pequeñas pendientes o valores pequeños de la relación h/a y en este caso el número de capas a incluir en el modelo será cero, ya que en este caso son directamente aplicables las expresiones deducidas teniendo en cuenta dicha hipótesis de pendientes pequeñas.
Para asignar algún valor a este límite inferior de dicha relación, h/a , se supone, por analogía con la óptica geométrica, que para los valores de h/a <= 1/2 , ó teniendo en cuenta el ángulo de incidencia, (h.cos a) /a <= 1/2 , el efecto de las múltiples reflexiones entre facetas es despreciable y por tanto no tenemos que incluir ninguna capa en el modelo.
A partir de este valor y para valores superiores de la relación (h.cos a) /a , se incrementa el número de capas del modelo en una capa por cada incremento del valor de dicha relación en una unidad, es decir una capa para valores de hasta 3/2, dos capas para valores de hasta 5/2, tres capas para valores de hasta 7/2 y cuatro capas para valores superiores, valor por encima del cual el efecto adicional de nuevas capas produce mínimos efectos en los resultados calculados con el modelo y que es una situación que correspondería a superficies altamente texturadas, con irregularidades muy próximas unas de otras, marcando el otro extremo en las características de las superficies que se pueden presentar en la realidad.

MEDIDAS Y SIMULACION NUMERICA

Una de las ventajas que tiene el trabajar con funciones como la reflectancia y la transmitancia es que se han definido como magnitudes relativas, es decir se obtienen de la comparación entre las intensidades de la radiación reflejada o transmitida, respectivamente y la intensidad incidente, lo cual permite prescindir del uso de patrones absolutos para medir el valor de dicha intensidad de la radiación en cualquiera de sus formas.
Una forma elemental de realizar este tipo de medidas consiste en situar un detector de radiación del tipo adecuado delante de la fuente de radiación y registrar la lectura que en él se produce y a continuación interponer entre la fuente y el detector el material que queremos medir, registrando la nueva lectura del detector cuyo cociente con respecto a la anterior permitiría obtener el valor de la transmitancia en este caso (ver figura).

y la señal generada en el detector será proporcional a dicha intensidad recibida.
¿Qué ocurre cuando la fuente utilizada emite radiación que es monocromática o casi monocromática con un ancho de banda , Dl , muy pequeño alrededor de una longitud de onda central , l _m ?
En este caso el intervalo de integración es muy pequeño y si es lo suficientemente pequeño para considerar que T(l) es constante en todo el intervalo, con el valor correspondiente a la longitud de onda media del intervalo, l_m , la anterior expresión de I_D se puede aproximar ahora por : I_D = I₀.T(l_m) , siendo I₀ al igual que antes la intensidad de la radiación emitida por la fuente, que en este caso estará comprendida dentro de un estrecho rango de longitudes de onda.
La información ahora obtenida se refiere sólo a una longitud de onda o a un intervalo muy pequeño de ellas, por lo que si se utilizaran muchas fuentes casi monocromáticas de diferentes longitudes de onda se podría obtener información sobre como se comporta la transmitancia del material bajo ensayo para diferentes valores de la longitud de onda y esa información es lo que comunmente se conoce con el nombre de espectro de transmisión si se registra el valor de la transmitancia o espectro de reflexión , si se registra el valor de la reflectancia.

Esta información es muy útil y tiene múltiples aplicaciones prácticas, por ello y a falta de un número suficiente de tales fuentes monocromáticas se ha buscado obtenerlas utilizando dispositivos que permiten seleccionar una pequeña parte del espectro obtenido al separar espacialmente la radiación no monocromática emitida por una fuente, en las diferentes longitudes de onda o colores que la componen.
Los métodos utilizados para conseguir esto han sido muy variados, desde la utilización de filtros selectivos que dejan pasar sólo radiación de una cierta franja de longitudes de onda, hasta la utilización de los llamados monocromadores, basados en prismas de diferentes materiales o en redes de difracción y el uso de interferómetros y otros dispositivos que buscan el mismo objetivo.
Desde el descubrimiento del prisma se ha venido utilizando este elemento para la observación de espectros de diferentes tipos, de transmisión de materiales y también de emisión de distintas fuentes de radiación, usando unos dispositivos llamados espectroscopios, consistentes básicamente en un tubo dotado de rendijas para colimar y limitar la radiación de entrada, un prisma de vidrio o cuarzo sobre el que se hace incidir la radiación proviniente de las rendijas de entrada y otro tubo situado a un ángulo adecuado y provisto de rendijas para colimar la radiación de salida del prisma y observar a través de un orificio el espectro formado.

Con el posterior desarrollo de los detectores electrónicos de radiación y la electrónica de medida y control asociada a los mismos, se puso de manifiesto la posibilidad de realizar medidas de intensidad de radiación con mayor precisión y exactitud, dando lugar a un nuevo tipo de instrumento formado por la combinación de una fuente de radiación, un monocromador y un detector de radiación, el conocido como espectrofotómetro.
Uno de los primeros modelos de espectrofotómetro que se comercializó en la década de los años 1950 fué el Beckman DU cuyo esquema óptico se muestra en la figura siguiente, reproducida de la referencia (18).

En la figura se pueden ver varios aspectos interesantes que incorporaba este instrumento de medida que utilizaba como fuente de serie una lámpara de tungsteno, aunque ofrecía la posibilidad de utilizar alternativamente una lámpara de hidrógeno para realizar medidas en el ultravioleta.
Utilizaba un espejo semitransparente para dirigir la radiación de la fuente hacia la rendija de entrada y basaba su poder resolutivo en el largo camino recorrido por la radiación una vez refractada en el prisma utilizado como elemento dispersor del monocromador.
Éste era de cuarzo, lo cual permitía trabajar con él en la región del ultravioleta, y de base recta con una superficie trasera aluminizada con lo que se consigue un mayor camino en la refracción de la luz y al mismo tiempo compensar los efectos de polarización que introduce el cuarzo sobre dicha radiación refractada, radiación cuya longitud de onda se selecciona a través de un mecanismo que permite girar el prisma con mucha precisión obteniendo las lecturas en una escala rotatoria adecuadamente graduada.
Tanto la radiación incidente como la dispersada se dirigen mediante un espejo colimador y, a la salida, la radiación de la longitud de onda seleccionada atraviesa el espejo semitransparente y posteriormente la posición en la que se puede situar la muestra, antes de llegar al detector que utiliza un fotomultiplicador como elemento sensible.

El proceso de medida con este instrumento consistía básicamente en seleccionar primero la longitud de onda a la que se iba a medir, realizar un ajuste del cero de transmitancia para lo cual se colocaba un bloque opaco en la posición de muestra y se ajustaba la lectura del galvanómetro a cero, se extraía despues el bloque dejando libre la posición de muestra y se ajustaba la lectura del galvanómetro al 100% o 1 de transmitancia, procediendo a continuación a colocar la muestra en su posición y realizar la lectura de la transmitancia en el galvanómetro.
Este proceso se realizaba para cada longitud de onda para la que se deseara medir la transmitancia, por lo que obtener un espectro de transmisión consistente en medidas a 10 o 12 longitudes de onda diferentes representaba una lenta y ardua tarea, teniendo en cuenta las necesarias repeticiones debido a oscilaciones en la intensidad de la fuente de radiación, variaciones en las lecturas del detector y otras dificultades que solían surgir muy frecuentemente.
Muchas de las dificultades experimentadas con este tipo de instrumentación provenían de la rudimentaria electrónica utilizada en su construcción, basada en tubos de vacío y medidores de aguja, como el galvanómetro, que no permitían una buena estabilidad y precisión en las medidas, pero esto cambió radicalmente en las décadas siguientes con el rápido desarrollo de la electrónica de semiconductores, el perfeccionamiento de los componentes ópticos y de los detectores y fuentes de radiación electromagnética utilizados, que dieron paso a una nueva generación de instrumentos mucho más precisos y cómodos de usar.

Al mismo tiempo y basándose en estos estos avances en la fabricación de componentes se desarrollaron nuevos conceptos en el diseño de los espectrofotómetros, siendo uno de los más notables el sistema de doble haz, mediante el cual se miden alternativamente y de forma automática las intensidades de radiación que pasan directamente y a través de la muestra al detector, realizando automáticamente el ajuste de cero y el cálculo de la transmitancia, obteniendo su lectura en displays o presentadores digitales que permiten una mayor precisión en la lectura de los valores medidos.
Estos desarrollos, junto con la utilización de nuevas fuentes y detectores de radiación, permitieron la construcción de diferentes tipos de espectrofotómetros cubriendo todo el rango de longitudes de onda desde 180 nm en el ultravioleta hasta 50 mm en el infrarrojo medio, dentro de las frecuencias ópticas.
El sistema de doble haz se ha incorporado en casi todos los nuevos modelos de espectrofotómetros, los cuales utilizan en su mayoría redes de difracción como elemento dispersivo en combinación con filtros o prismas para eliminar los órdenes superiores de difracción lo que, unido al uso de rendijas variables, permite reducir mucho la anchura de banda de la radiación obtenida a la salida del monocromador, como es el caso en el espectrofotómetro modelo 340 de Perkin-Elmer cuyo esquema óptico se ofrece en la figura siguiente, reproducida de la referencia (19).

En la figura se puede ver que en este caso se utiliza un prisma como elemento dispersor previo al uso de una red de difracción, la cual en este modelo es seleccionable entre dos, según los valores de longitudes de onda en que se trabaje, ya que este modelo podía medir en todo el rango comprendido entre 180 nm y 2600 nm, para lo cual disponía también de dos fuentes de radiación, una lámpara de deuterio para el ultravioleta y una lámpara de tungsteno para la región del visible y del infrarrojo próximo, y también disponía de dos detectores, un fotomultiplicador para el ultravioleta y visible y una célula de sulfuro de plomo para el infrarrojo próximo.
El intercambio de las redes de difracción, así como de los detectores se realiza automáticamente y el sistema de doble haz se implementa por medio de dos espejos rotatorios sincronizados, que dirigen el haz de radiación monocromática alternativamente, varias veces por segundo, a través de una posición ocupada por la muestra y a través de otra que puede permanecer libre o puede ocuparse con una compensación o "blanco" adecuado y disponen de un tercer sector que bloquea el paso de radiación para así poder ajustar la lectura de cero.
El uso de motores paso a paso para mover los elementos dispersores y el control por microprocesador de todo el funcionamiento de estos equipos, hace posible obtener un espectro de transmisión contínuo dentro de un amplio rango de longitudes de onda, por ejemplo en toda la región del visible, en unos pocos minutos y la utilización de registradores en papel y de impresoras permite su obtención gráfica en una escala graduada.
Al igual que sucede en otro tipo de instrumentos de medida, la incorporación del uso de ordenadores para el control del funcionamiento de los espectrofotómetros facilita también la toma automática de lecturas a longitudes de onda preseleccionadas y la utilización de los valores medidos para obtener otros parámetros cuyo cálculo ha sido programado previamente.

Al mismo tiempo se han desarrollado accesorios para adaptarlos fácilmente a los espectrofotómetros y poder realizar otro tipo de medidas, como son las medidas de reflectancia especular y también de reflectancia total, así como la posibilidad de extraer el haz de radiación por medio de fibras ópticas para realizar medidas sobre materiales en el exterior del espectrofotómetro o la adaptación de microscopios que permiten obtener espectros sobre fracciones muy pequeñas del material bajo estudio.
Por todo ello el espectrofotómetro es un instrumento muy adecuado para la realización de medidas de transmisión y reflexión en todo tipo de materiales, su uso está muy extendido en los laboratorios de análisis físico-quimicos y también tiene mucha aplicación en los laboratorios biológicos y farmaceúticos.
Su campo de aplicación es tan amplio que ha motivado que, además de las medidas básicas de transmitancia, se haya dotado a los espectrofotómetros de otras capacidades tales como la obtención de una función calculada a partir de la transmitancia, la llamada Absorbancia, definida como el logaritmo decimal de la inversa de la transmitancia y cuya obtención es conveniente para aplicarla en los procesos de cuantificación de analitos en disolución que se llevan a cabo en el análisis químico, cuya absorción de la radiación se puede describir adecuadamente por medio de la llamada ley de Bouguer-Beer-Lambert , que se expresa como : A = a . d . c , siendo A la absorbancia, a la llamada absortividad del soluto, d el espesor recorrido por la radiación y c la concentración del soluto en la disolución.
Otras posibilidades que ofrecen los espectrofotómetros actuales son la obtención de las derivadas hasta el tercer y cuarto grado de la transmitancia y de la absorbancia asi como, consecuencia de su uso conjunto con el ordenador, su aplicación a la cuantificación de mezclas por medio de ajustes multipunto a diferentes longitudes de onda preseleccionadas.

Asi pues, el método de medida más eficaz para la obtención de los valores de transmitancia y reflectancia de materiales es por medio del uso de un espectrofotómetro que pueda trabajar en la región de longitudes de onda de interés y que permita seleccionar algunos de los parámetros que pueden tener influencia sobre dichos valores medidos, como son por ejemplo el ancho de banda y el rango de las longitudes de onda de la radiación utilizada en la medida.
Por ejemplo, una medida sencilla que permite comprobar la validez del cálculo realizado anteriormente para obtener el valor de la transmitancia de una lámina de vidrio de caras paralelas, cuyo índice de refracción sea N = 1.5 y no absorba radiación, para el cual se obtuvo un valor de T = .923, se presenta en la figura siguiente en la que se ha obtenido un registro gráfico de la medida de la transmitancia, en incidencia normal, de una lámina de vidrio de 1 mm de espesor, de las usadas como porta-objetos en los microscopios, y cuyo índice real de refracción es aproximadamente constante e igual a 1.5 en todo el rango de longitudes de onda explorado, que en este caso va desde 550 nm a 850 nm.

El ancho de banda de la radiación utilizada en esta medida se ha seleccionado a 2 nm , el tiempo que duró el registro de todo el espectro fue de 1 minuto aproximadamente y el espectrofotómetro utilizado en ésta y las siguientes medidas fué un UV-500 de Thermo-Unicam.
En la figura observamos que el valor de la transmitancia registrada se mantiene constante en el intervalo de longitudes de onda seleccionado y su valor es de aproximadamente T = .920 , el cual está en muy buen acuerdo con el valor calculado , .923 , si tenemos en cuenta que es posible que haya una pequeña absorción en el material, que no se ha considerado en los cálculos, y que el índice de refracción cuyo valor se ha tomado como 1.5 puede que no sea exactamente ese y difiera de él ligeramente.

También se puede ver en la anterior figura que el valor de la transmitancia no presenta prácticamente ninguna dependencia con respecto a la longitud de onda, de lo cual podríamos concluir que las dos superficies de la lámina son muy lisas y también que el índice de absorción, k, en caso de que no sea cero debe de tener un valor muy pequeño.
El hecho de que no se observen efectos de interferencia en la figura es consecuente con las características de la lámina y de la radiación utilizada en la medida, ya que la mayor longitud de coherencia de la radiación a la longitud de onda de 850 nm , siendo el ancho de banda de 2 nm, sería de 3.61 . 10⁵ nm aproximadamente, mientras que el espesor de fase de la lámina, N.d , será de aproximadamente 1.5 . 10⁶ nm, el cual es al menos cuatro veces mayor que la longitud de coherencia de la radiación y en consecuencia los efectos de interferencia resultan promediados y no se observan en el espectro registrado.

En este caso, debido a que no existe dependencia con la longitud de onda, la simulación del espectro de transmisión se limita a realizar el cálculo de la transmitancia en función de los índices reales de refracción de los medios de incidencia y emergencia y el de la lámina , utilizando la expresión que se ha deducido anteriormente : T = T₁ T₂ /(1- R₂²), donde T₁ y T₂ son las transmitancias de la primera y segunda superficie respectivamente, y R₂ es la reflectancia de la segunda superficie, que se calculan en función de los índices de refracción de los medios de incidencia y emergencia, en este caso el aire cuyo índice de refracción tomamos como de valor 1, y del índice de la lámina, que en este caso es de vidrio con N₂ = 1.5 aproximadamente.
De esta forma, a partir de las fórmulas de Fresnel, estos valores de reflectancia y transmitancia de las interfases vendrán dados por :

R₂ = [(N₁ - N₂) / (N₁ + N₂)]²     y   T₁ = T₂ = 4 N₁.N₂ /(N₁ + N₂)²

de las que operando con los valores N₁=1 y N₂=1.5 , se obtiene el valor de T = .923 anteriormente mencionado.
Estos cálculos se pueden realizar de forma automática utilizando el programa de cálculo de la Transmitancia de una lámina gruesa

Si se quiere realizar la simulación del espectro de transmisión para una lámina cuyo índice de refracción no permanece constante en el rango de longitudes de onda considerado, el valor de la transmitancia variará en función de la longitud de onda y deberá calcularse para cada longitud de onda de interés dentro del espectro que se quiere simular.
Tal es el caso cuando por ejemplo se registra el espectro de una lámina de polimetil-metacrilato, conocido comercialmente como vidrio acrílico, de caras plano-paralelas y de 3 mm de espesor, en el rango de longitudes de onda comprendido entre 350 y 800 nm, el cual puede verse en la figura siguiente.

En este caso el índice de refracción entre 500 nm y 800 nm varía entre 1.496 y 1.484 aproximadamente, de acuerdo con la referencia (20), por lo cual podríamos hacer en dicha región una aproximación similar al caso de la lámina de vidrio, considerando un valor medio de 1.49 para el índice de refracción con el cual obtenemos ahora el valor T = .925 aplicando las expresiones utilizadas anteriormente en dicho caso, valor que se corresponde bastante bien con los valores medidos experimentalmente y registrados en el espectro de la figura, que permanecen relativamente constantes en dicho intervalo.
Por el contrario, en la región de longitudes de onda menores de aproximadamente 400 nm la forma del espectro cambia bruscamente y el valor de la transmitancia decrece fuertemente con la longitud de onda, lo cual nos indica que dentro del material existe una fuerte absorción de la radiación con longitudes de onda menores de 400 nm y el material deja de ser transparente para dichas radiaciones, que se puede considerar que pertenecen ya a la región ultravioleta del espectro.
Para radiación de estas longitudes de onda el índice de refracción de este material no se puede seguir considerando que sea real y tendrá una cierta componente imaginaria , N = n - jk , de forma que para valores no muy altos de k , los valores de las transmitancias y reflectancias de las superficies seguirán siendo muy parecidas a las calculadas considerando un índice de refracción real, pero el factor exponencial e^-2jd , que resulta al calcular la transmitancia por el método de Airy y que para un índice de refracción real es una función periódica que al integrarse proporciona un valor medio constante independiente de la longitud de onda, ahora tiene una componente exponencial e^{-4p.k.d /l} que afecta al valor de la transmitancia y la hace depender del valor de k y del valor de l.
Por ello, en el caso en que los valores de k son pequeños comparados con el de n, la transmitancia se puede aproximar por la expresión anteriormente utilizada pero afectada ahora por dicho factor exponencial y tendríamos ; T = T₁ T₂ e^{-4p.k.d /l} /(1- R₂²), expresión que permitiría hacer una determinación aproximada del índice de absorción , k , en el material del que se ha registrado el espectro de transmisión, si se conoce su espesor y los valores de la transmitancia en una región de no absorción y en la región en la que el material empieza a absorber la radiación, como es el caso en el espectro de la anterior figura.
En efecto, si llamamos T₀ a la transmitancia en ausencia de absorción, entonces en la zona en que comienza la absorción y para valores de k no muy altos podremos calcular el valor de dicho índice de absorción como :

-4p.k.d.log(e) /l = log( T /T₀ )   =>   k = l. log( T₀ /T ) / ( 4p.d.log(e) )

También a partir de esta expresión es fácil obtener la forma mas conocida de la ley de Bouguer-Beer-Lambert, ya que si T₀ = 1 la anterior expresión se convierte en : A = (4p.k.log(e) / l) . d . c = a . d . c , siendo respectivamente ; a = (4p.k.log(e) / l) la llamada absortividad del material en disolución, c la concentración de soluto, que en nuestro caso es 1 o el 100% por haber considerado un material sólido, y d el espesor recorrido por la radiación dentro de la disolución.
La forma en que se consigue que T₀ se pueda considerar como la unidad es una técnica utilizada con mucha frecuencia en el análisis químico y que consiste en situar en el haz de referencia de un espectrofotómetro de doble haz una cubeta de idénticas características a la utilizada en el haz de muestra, pero que contenga sólo el disolvente utilizado para disolver la muestra y de esta manera se "compensa" la absorción de fondo debida al disolvente y a la cubeta , o lo que es lo mismo se consigue que el equipo interprete que la transmitancia de la cubeta con el disolvente es 1.

En este tipo de análisis, los espesores de las ventanas de la cubeta y del espacio entre las ventanas, que se llena con la disolución que se quiere medir, son habitualmente mucho mayores que la longitud de coherencia del haz de radiación utilizado en la medida y por ello no se observan efectos de interferencia en los espectros registrados.
Una excepción a este hecho es la que se produce en las medidas realizadas en la región del infrarrojo medio, con longitudes de onda entre 2.5 y 50 micrometros, en cubetas con ventanas de cloruro sódico y pequeños espesores inter-ventana, del orden de 25 o 50 micrometros, en cuyo caso el espesor de fase del espacio entre ventanas es del mismo orden de magnitud que la longitud de coherencia del haz de radiación utilizado y entonces se pueden observar los máximos y mínimos debidos a la interferencia, lo cual se utiliza en algunas ocasiones para determinar con exactitud el espesor útil de la cubeta para su uso en análisis cuantitativos.

Los máximos y mínimos de interferencia se observan también en situaciones en las que la lámina o láminas de material que recubren otros medios tienen un espesor pequeño, del orden de magnitud de la longitud de onda de la radiación incidente y este efecto se observa en muchas ocasiones en la vida cotidiana.
Tal es el caso, por ejemplo, de las finas capas de aceite u otro material menos denso que el agua que se forman sobre la superficie de ésta y que dan lugar a las irisaciones y cambios de color que se observan a veces en charcos de agua o pompas de jabón, que son consecuencia de la interferencia de la luz visible en ellas.
Otro ejemplo que se ve con mucha frecuencia es el de las láminas reflectantes y antireflectantes que se utilizan en aplicaciones tales como los cristales "espejo" que se usan para conseguir mayor opacidad en uno de los sentidos de la visión y los de las lentes antireflectantes de uso oftalmológico, respectivamente.
También se utilizan con mucha frecuencia materiales en forma de lámina delgada para usos en el campo de la electrónica y de la generación de energia eléctrica fotovoltaica y en este caso también es posible obtener información sobre las propiedades de los materiales utilizados, a partir de medidas de transmisión o reflexión realizadas sobre dichos materiales.
En las medidas de transmisión y reflexión se usan los valores de longitud de onda a la que se producen los máximos y mínimos de interferencia y las lecturas de transmitancia o reflectancia en dichos puntos para determinar el espesor y el índice de refracción de materiales que se utilizan en forma de lámina delgada depositada sobre otra lámina de material de mayor espesor y capacidad portante.
Este es el caso de la figura que se presenta a continuación en la que se puede ver el registro gráfico de la medida de la transmitancia de una lámina delgada de sulfuro de cadmio (CdS) depositada sobre una lámina de vidrio de 100 mm de espesor, de las utilizadas como cubreobjetos en los microscopios (21).
El ancho de banda de la radiación utilizada se ha mantenido en 2 nm y el rango de longitudes de onda explorado ha sido de 400 nm a 850 nm, habiendo sido el tiempo empleado en registrarlo de un minuto aproximadamente.

A partir del espectro de transmisión de la figura se leen los valores de transmitancia, T=0.68 en el mínimo a 787.5nm y T=0.85 en el máximo a 811.1nm y utilizando un método como el descrito en (7) se llegan a obtener el orden de interferencia, m=16 , el espesor de la lámina, d=3.06mm , su índice real de refracción a las dos longitudes de onda , n(l1)=2.120 , n(l2)=2.118 , y el coeficiente de absorción k=1.53 .10^-3 en el máximo de transmitancia. El cálculo de estos valores se ha hecho de forma automatizada empleando el programa de cálculo de índices de refracción y espesores que se puede utilizar en linea en (22).
En este caso la longitud de coherencia del haz de radiación es comparable con el espesor óptico de la lámina de vidrio usada como substrato y por tanto deberían aparecer en el espectro registrado algunos efectos de interferencia, debidos al mismo, superpuestos con los efectos de interferencia de la lámina delgada de CdS, pero en el anterior espectro no se aprecian.
La causa de ello hay que buscarla en el tipo de registro realizado, que no tiene la suficiente resolución entre punto y punto como para reflejar las pequeñas oscilaciones que deberían observarse. Para visualizar este efecto con más claridad se han realizado otros dos registros de la misma lámina y substrato, esta vez con mayor resolución gráfica, uno con el mismo ancho de banda anterior, 2 nm, y otro disminuyendo el ancho de banda experimental hasta 0.5 nm.
Los registros se han hecho ahora entre 550nm y 850nm y el resultado puede verse en las imágenes siguientes:

Ahora sí se observan en los dos registros las oscilaciones debidas a la interferencia dentro del sustrato de vidrio, aunque el efecto se hace más evidente cuando se reduce el ancho de banda de la radiación utilizada y cuanto mayor es la longitud de onda y, por tanto, la longitud de coherencia del haz de radiación.

En (22) también se puede encontrar un programa con el que es posible realizar la simulación de los espectros de transmisión y reflexión completos para sistemas de hasta 8 láminas de cualquier espesor, en todo el rango de longitudes de onda, con anchos de banda variables, para cualquier ángulo de incidencia y diferentes tipos de polarización de la radiación incidente.
Utilizando este programa se ha hecho una simulación del espectro de transmisión y reflexión de la lámina de CdS sobre substrato de vidrio, cuyo espectro de transmisión se presentó en la anterior figura, para lo cual se han utilizado los valores de espesor e índice de refracción encontrados, se ha ajustado el índice de refracción a una sencilla expresion polinómica del tipo : n = 2.1 - .043/l + .046/l² y el coeficiente de absorción a una expresión lineal del tipo ; k = .1514 - .245l , en el tramo de longitudes de onda entre 520nm y 600nm y de ; k = .0212 - .028l , entre 600nm y 700nm, expresiones que se han encontrado para este caso concreto a partir del espectro de transmisión registrado y con las cuales se han obtenido los espectros calculados, usando anchos de banda de 2 nm y 1.5 nm respectivamente, que se ofrecen en las siguientes figuras.

En estas simulaciones se observan también los efectos de interferencia del sustrato superpuestos a los de la lámina de CdS y su dependencia con el ancho de banda usado en la simulación y con la longitud de onda de la radiación, al igual que se observaba en los espectros de transmisión registrados experimentalmente.
Dicho ancho de banda utilizado en la simulación se ha tomado como la anchura de una distribución rectangular de las intensidades de radiación dentro del haz incidente, y la similitud entre las curvas calculadas y las obtenidas experimentalmente es bastante satisfactoria, como puede observarse al comparar las anteriores figuras, si se tiene en cuenta la diferencia de expansión de los ejes de ordenadas en uno y otro caso.
Se observa también que en estas simulaciones realizadas, los efectos de interferencia producidos en el substrato son más acusados que los que se observan en los espectros registrados experimentalmente y este hecho puede explicarse por las limitaciones que tiene el registro experimental en cuanto a la resolución gráfica de dicho registro y otros efectos espúreos de integración que se producen de forma involuntaria sobre el mismo, mientras que dichos efectos están ausentes en el caso de los espectros calculados.

Otra de las características que tiene mucha influencia sobre la transmitancia y reflectancia medidas es la rugosidad superficial de la o las interfases entre los medios, siendo habitualmente la de la primera interfase la que es más significativa, al ser la cantidad de radiación dispersada fuera de la dirección especular dependiente de la diferencia de los índices de refracción de los medios a uno y otro lado de la interfase rugosa, así como de las características de la rugosidad superficial.
En el caso de las medidas de reflexión en superficies rugosas de medios muy reflectantes, como es el caso de los metales, la radiación desviada fuera de la dirección especular es función del ángulo de incidencia y de las características de la rugosidad de la superficie y los índices de refracción de los medios a uno y otro lado de la interfase, mientras que en el caso de las medidas de transmisión o reflexión en medios poco reflectantes, como es el caso de los dieléctricos, dicha radiación desviada fuera de la dirección predicha por las leyes de Snell dependerá también de los espesores y características de las láminas que la radiación deba atravesar después de pasar la superficie con rugosidad.
Por ello, en muchas ocasiones sucede que una fracción de la radiación que alcanza el detector es radiación que en parte ha sufrido difracción en la rugosidad superficial, pero que ha sido redirigida a dicha dirección tras sufrir diversas desviaciones y por ello, es a la radiación que alcanza el detector dentro de un pequeño ángulo de apertura a la que se hace referencia cuando se habla de radiación transmitida o reflejada en la dirección especular.

En el caso de superficies muy lisas, con poca rugosidad superficial, la radiación reflejada y trasmitida lo será de acuerdo con las leyes de Snell y además será radiación que mantiene la coherencia de la fase, al no haber sufrido difracción, por lo cual puede verse reflejada en ellas o transmitida a través suyo la forma y características de los objetos que están delante o detrás, respectivamente.
En el caso opuesto, de superficies con rugosidad superficial grande, la radiación reflejada y transmitida en ellas ha sufrido difracción y por tanto ha perdido la coherencia de fase, por lo cual no podremos observar la forma o características de los objetos delante o detrás de ellas y lo que observaremos será la imagen formada por la difracción en las facetas de la superficie.
Entre uno y otro extremo puede haber toda una gama de situaciones intermedias en las que las superficies pueden resultar mas o menos transparentes y reflejar de forma más o menos distorsionada dependiendo de las propiedades concretas de la superficie y material considerados, pero es remarcable que en la Naturaleza la mayoría de las superficies presentan grados de rugosidad considerables y sólo en algunos pocos casos se pueden observar superficies relativamente lisas, como es el caso de los cristales, las superficies de fluidos en reposo y algunas pocas mas.

Para observar el efecto que tiene un cierto grado de rugosidad superficial sobre la radiación transmitida en la dirección especular, se ha producido una rugosidad sobre la lámina de polimetil-metacrilato cuyo espectro de transmisión se vió anteriormente y se ha vuelto a registrar el espectro de transmisón de la lámina, manteniendo un pequeño ángulo de aceptación del detector para que la radiación recogida sea la que se transmite en la misma dirección que la de incidencia, y pueda considerarse que la transmitancia registrada es la especular.
Los dos espectros se pueden ver en la figura siguiente, en la que se observa una disminución de la transmitancia especular para la lámina con superficie rugosa con respecto a la de superficie lisa y que dicha disminución tiene dependencia con la longitud de onda, siendo la transmitancia menor para longitudes de onda más pequeñas.